3つの集合問題はカルノー図で簡単解決！（準備編）【ビジネス数学検定2級合格への道】

2022年5月3日2023年1月31日SPI能力検査（非言語分野）,ビジネス数学検定,集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野),ビジネス数学検定2級

読了時間: 約4分6秒

第75回ビジネス数学検定受検まであと56日
受検勉強を再開した2022年4月18日より16日経過しています。
ビジネス数学検定2級の公式問題集の中で、ここは数学の知識があるほうが解きやすいなという問題について、
いくつか紹介してみたいと思います。

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3つの集合問題はカルノー図で簡単解決！（準備編）

3つの集合問題、得意ですか？
私は、かなり苦手でした。
重なっているところを「かつ（$ \ \cap \ $）」や「または（$ \ \cup \ $）」、さらに「〜ではない（$ \ \overline{A} \ $）」などの記号を用いて表すうち、だんだんこんがらがってくるからです。
集合2つでも結構めんどくさいのに、3つになったら、混乱しないわけがありません。(笑)

そんな困っていた私ですが、ある日「カルノー図」を知ったことで、らくらく解決できるようになりました。
今回は、ベン図とカルノー図を対応させ、数式にあらわしてみたいと思います。

Lukia

ちなみに、ベン図の「ベン」も、カルノー図の「カルノー」も考えた人の名前です。

ベン図をカルノー図に対応させる

3つの集合を、それぞれ$ \ \mathrm{X} \ $、$ \ \mathrm{Y} \ $、$ \ \mathrm{Z} \ $とし、全体集合を$ \ \mathrm{U} \ $とします。
これをカルノー図（図というよりかは表ですね）にあらわしていきます。
まず、$ \ \mathrm{X} \ $、$ \ \mathrm{Y} \ $の組み合わせを4通り作り、これに$ \ \mathrm{Z} \ $の組み合わせをかけて、8通りの組み合わせで表します。

条件$ \ \mathrm{X} \ $には、「集合$ \ \mathrm{X} \ $に含まれる」、「集合$ \ \mathrm{X} \ $に含まれない」の2通りが考えられます。
これは条件$ \ \mathrm{Y} \ $や条件$ \ \mathrm{Z} \ $にも同様に2通りずつありますので、
すべての組み合わせは、$ \ 2^3=8 \ $通りあることになります。

横に5マス、縦に3マスの表を作ります。
上段に、「集合$ \ \mathrm{X} \ $に含まれ、集合$ \ \mathrm{Y} \ $にも含まれる」すなわち$ \ \mathrm{XY} \ $
「集合$ \ \mathrm{X} \ $に含まれるが、集合$ \ \mathrm{Y} \ $には含まれない」すなわち$ \ \mathrm{X\overline{Y}} \ $
「集合$ \ \mathrm{X} \ $に含まれないが、集合$ \ \mathrm{Y} \ $には含まれる」すなわち$ \ \mathrm{\overline{X}Y} \ $
「集合$ \ \mathrm{X} \ $に含まれず、集合$ \ \mathrm{Y} \ $にも含まれない」すなわち$ \ \mathrm{\overline{X}\overline{Y}} \ $
の項目を書き込みます。
2段めと3段目の一番左のマスに、「集合$ \ \mathrm{Z} \ $に含まれる」すなわち$ \ \mathrm{Z} \ $、
「集合$ \ \mathrm{Z} \ $に含まれない」すなわち$ \ \mathrm{\overline{Z}} \ $をそれぞれ書き込みます。

これでカルノー図の完成です。
8つの組み合わせに$ \ a \ $~$ \ h \ $までの文字を充てておきます。

数式にあらわしてみる

ベン図とカルノー図の$ \ a \ $~$ \ h \ $はそれぞれ対応させています。（じっくり見てくださいね）

ベン図を見ると、集合$ \ \mathrm{X} \ $、集合$ \ \mathrm{Y} \ $、集合$ \ \mathrm{Z} \ $は、それぞれ
$ \ \mathrm{X}=a+b+e+f \ $
$ \ \mathrm{Y}=a+c+e+g \ $
$ \ \mathrm{Z}=a+b+c+d \ $
と表せることがわかります。
集合$ \ \mathrm{Z} \ $に関しては、カルノー図の$ \ \mathrm{Z} \ $の列とぴったり符合していますね。

$$\begin{align}\mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z}=&\left( a+b+e+f\right)+\left( a+c+e+g\right)+\left( a+b+c+d\right) \\\\ =&3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right) \end{align}$$

また、$ \ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z} \ $($ \ \mathrm{X} \ $または$ \ \mathrm{Y} \ $または$ \ \mathrm{Z} \ $）は、 $$\begin{align}\mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=&a+b+c+d+e+f+g\\\\ =&a+\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right) \\\\ =&\mathrm{U}-h\end{align}$$ であることがいえます。この2つの式はすごく便利なので覚えておきましょう。

Lukia

慣れないうちは、カルノー図のどの文字が3倍？どれが2倍？と悩むと思いますが、
私は、以下の図のようにして覚えています。