直線と放物線がからんだ問題【粗忽な大人、高校入試問題を解く〜それ、誤答です！〜】
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広島県公立高校入試の2022年、2021年、2020年の数学の問題を解いてみました。深い読解能力と素早い処理能力が必要とされる問題になっているな。と感じました。
3ヶ年分の問題のうち、私がおっちょこちょいなことをしたり、ツメが甘くて間違えた問題について解き直してみようと思います。
問題
下の図のように、関数\( \ y=x^2 \ \)のグラフ上に点\( \ \mathrm{A} \ \)、\( \ y \ \)軸上に\( \ y \ \)座標が\( \ 4 \ \)より大きい範囲で動く点\( \ \mathrm{B} \ \)があります。点\( \ \mathrm{B} \ \)を通り\( \ x \ \)軸に平行な直線と、関数\( \ y=x^2 \ \)のグラフとの2つの交点のうち、\( \ x \ \)座標が小さい方を\( \ \mathrm{C} \ \)、大きい方を\( \ \mathrm{D} \ \)とします。また、直線\( \ \mathrm{CA} \ \)と\( \ x \ \)軸との交点を\( \ \mathrm{E} \ \)とします。
\( \ \mathrm{CA}=\mathrm{AE} \ \)となるとき、直線\( \ \mathrm{DE} \ \)の傾きを求めなさい。
2020年大問6-(2)
\( \ \mathrm{CA}=\mathrm{AE} \ \)となるとき、直線\( \ \mathrm{DE} \ \)の傾きを求めなさい。
2020年大問6-(2)
解法
点\( \ \mathrm{C} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ c \ \)、点\( \ \mathrm{D} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ d \ \)、点\( \ \mathrm{E} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ e \ \)とする。
ただし、\( \ c \lt 0,\quad d \gt 0,\quad e \gt 0 \ \) である。
\( \ \mathrm{CA}=\mathrm{AE} \ \)より、点\( \ \mathrm{A} \ \)は2点\( \ \mathrm{C},\mathrm{E} \ \)の中点なので、
$$\begin{align}\frac{c+e}{2}=&2 \\\\ c=&4-e \ \cdots \ ① \end{align}$$ $$\begin{align}\frac{c^2+0}{2}=&4 \\\\ c^2=&8 \ \cdots \ ②\\\\ また&放物線の性質より \ d=-c \ \cdots \ ③ \end{align}$$
$$\begin{align}\frac{d^2}{d-e}=&\frac{c^2}{-c-e} \\\\ =&\frac{c^2}{-\left( 4-e\right)-e} \\\\ =&\frac{c^2}{-4}=\frac{8}{-4}=-2 \end{align}$$
こたえ
\( \ -2 \ \)
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