高校数学の「平面ベクトル(三角形)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

ベクトルYahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 平面ベクトル , 数学検定2級

問題

problem

\(\triangle \mathrm{OAB}\)があり,辺 \(\mathrm{OA}\)を \(2:1\)に内分する点を\(\mathrm{C}\),
辺\(\mathrm{AB}\)を\(2:1\)に内分する点を\(\mathrm{D}\)とする.
また,\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\)とする.

(1) \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)を\(\overrightarrow{a}\)を用いて表せ.また,\(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\)を\(\overrightarrow{a} \ , \ \overrightarrow{b}\)を用いて表せ.
(2) \(s\)は実数とし,直線\(\mathrm{CD}\)上に\(\overrightarrow{\mathrm{CE}}=s\overrightarrow{\mathrm{CD}}\)となるような点\(\mathrm{E}\)をとる.
\(\overrightarrow{\mathrm{OE}}\)を\(s \ , \ \overrightarrow{a} \ , \ \overrightarrow{b}\)を用いて表せ.また,\(\mathrm{E}\)が直線\(\mathrm{OB}\)上にあるとき,\(s\)の値を求めよ.
(3) (2)の点\(\mathrm{E}\)が直線\(\mathrm{OB}\)上にあり,\(\mathrm{OA}=2, \ \)\(\mathrm{OB}=3, \ \)\(\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}\)であるとする.また,\(t\)は実数とし,直線\(\mathrm{AB}\)上に\(\overrightarrow{\mathrm{AF}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}} \ \left( t \neq 0\right)\)となるような点\(\mathrm{F}\)をとる.\(\mathrm{EA}=\mathrm{EF}\)であるとき,\( \ t\)の値を求めよ.

(1)を解く。

Lukia_74

Lukia

内分比を統一することにずいぶん慣れてきていると思うので、
今回からは、統一された図を示すことにします。
ただし、今回はあんまり統一する必要もないんですけどね。


$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=&\frac{2}{3}\overrightarrow{a} \\\\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=&\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right) \end{align}$$

(2)を解く。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{CE}}=&s\overrightarrow{\mathrm{CD}} \\\\ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=&\left( 1-s\right)\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s\overrightarrow{\mathrm{OD}} \\\\ =&\frac{2}{3}\left( 1-s\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}s\left( \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\\\\ =&\frac{1}{3}\left( 2-s\right)\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}s\overrightarrow{b} \end{align}$$

$$\begin{align}点\mathrm{E}が&直線\mathrm{OB}上にあるということは \\\\ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=&k\overrightarrow{\mathrm{OB}}\quad \left( k \ は実数\right) \quad であるから,\\\\ \frac{1}{3}\left( 2-s\right)=&0\\\\ すなわち \ &s=2 \end{align}$$

(3)を解く。

Lukia_74

Lukia

(2)で、\( \ s=2 \ \)とわかりましたので、
\( \ k=\frac{4}{3} \ \)となり、図は以下のように描き換えられます。
また、\( \ \angle \mathrm{AOB}=90^{\circ} \ \)ということから、ベクトルの内積\( \ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0 \ \)ということもわかりますね。


$$\begin{align}\left( 2\right)の&s=2 \ より \\\\ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=&\frac{4}{3}\overrightarrow{b} \ である. \\\\ また, \ &\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ} \ より,\\\\ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=&0 \ である. \end{align}$$

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AF}}=&t\overrightarrow{\mathrm{AB}} \ より,\\\\ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=&-\left( t+1\right)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \end{align}$$
$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{EA}}=&\overrightarrow{a}-\frac{4}{3}\overrightarrow{b} \\\\ \overrightarrow{\mathrm{EF}}=&-\left( t+1\right)\overrightarrow{a}+\left( t-\frac{4}{3}\right)\overrightarrow{b} \\\\ \\\\ \vert \overrightarrow{\mathrm{EA}} \vert^2=&\vert \overrightarrow{\mathrm{EF}} \vert^2 \\\\ 4-2\cdot \left( -\frac{4}{3}\right)\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\frac{16}{9}\cdot 9=&\left( t+1\right)^2\cdot 4-2\cdot \left( -t-1\right)\left( t-\frac{4}{3}\right)\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\left( t-\frac{4}{3}\right)^2\cdot 9\\\\ 20=&13t^2-16t+20\\\\ 13t^2-16t=&0\\\\ t \neq &0\quad より,\\\\ t=&\frac{16}{13} \end{align}$$

こたえ


$$\begin{align}\left( 1\right)\quad &\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a} \\\\ &\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right) \\\\ \left( 2\right)\quad &\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{1}{3}\left( 2-s\right)\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}s\overrightarrow{b}\\\\ &s=2 \\\\ \left( 3\right)\quad &t=\frac{16}{13} \end{align}$$

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