高校数学の「等差数列にひそむ飛び石のような数列」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2018年12月18日2023年1月14日数列実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級,数検準1級

[mathjax]

まずは等差数列{a_n}を明らかにする。

$$\begin{align}等差数列\lbrace a_n\rbrace & \ の初項を \ a, \ 公差をd \ とする。\\\\ a_1+a_2+a_3=&a+a+d+a+2d \\\\ =&3a+3d=21 \ より\\\\ a+d=&7 \\\\ さらに \ a_5=a+4d=&16 \ との連立方程式を解いて,\\\\ &a=4,\quad d=3 \end{align}$$
$$ゆえに \ 等差数列\lbrace a_n\rbrace \ は,\quad a_n=3n+1\quad である.$$

数列{b_n}を明らかにする。

Lukia

数列\(\lbrace a_n\rbrace\)と数列\(\lbrace b_n\rbrace\)を表に書きだし、関係性を調べてみます。

Lukia

数列\(\lbrace b_n\rbrace\)は、階差数列であることがわかります。

$$\begin{align}b_n=&b_1+\sum_{k=1}^{n-1}{18\cdot 3^{k-1}} \\\\ =&10+\frac{18-18\cdot 3^{n-1+1}}{1-3} \\\\ =&3^{n+1}+1\\\\ これは&n=1 \ のときも成り立つ. \end{align}$$

数列{a_n}と数列{b_n}の関係性を解明する。

Lukia

数列\(\lbrace a_n\rbrace\)が27項あると、数列\(\lbrace b_n\rbrace\)は3項含まれていることがわかります。つまり、数列\(\lbrace c_n\rbrace\)の項数は、24項となります。

$$\begin{align}数列\lbrace c_n\rbrace \ の項数は&3^n-n\quad で求められる. \\\\ 3^n-n \leq &100 \\\\ 3^n \leq &100+n \end{align}$$

$$上の表より、n=4 \ のとき条件を満たすことがわかる.$$
$$\begin{align}\sum_{k=1}^{100}{c_k}=&\sum_{k=1}^{104}{a_k}-\sum_{k=1}^{4}{b_k} \\\\ =&\frac{104}{2}\left( 4+3\times 104+1\right)-\left( \frac{9-3^{5+1}}{1-3}+4\right) \\\\ =&52\times 317+\frac{3^2}{2}\left( 1-3^4\right)-4\\\\ =&16484-40\times 9-4 \\\\ =&16120 \end{align}$$

こたえ

$$16120$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。