高校数学の「平面ベクトルとその内分比」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2018年12月2日ベクトルYahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検2級

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 平面ベクトル , 内分比 , 数学検定2級

Contents

1. 問題
2. (1) 図を描いて、内分比を「統一」する。
3. (2) を解く。
4. こたえ

問題

三角形$\mathrm{OAB}$において、辺$\mathrm{OA}$を$3:5$に内分する点を$\mathrm{C}$、辺$\mathrm{OB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし、線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする。
（1）　$\mathrm{AP:PD}=s:\left( 1-s\right)$　、　$\mathrm{BP:PC}=t:\left( 1-t\right)$とするとき、$s \ , \ t$の値を求めよ。
（2）　また、$\mathrm{OP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき、$\mathrm{OQ}$は$\mathrm{OP}$の何倍であるか。

(1) 図を描いて、内分比を「統一」する。

Lukia

まずは、図を描いて、わかっている情報を書き込みます。
すると、赤で示した内分比と、青で示した内分比は統一できそうですね。
しかも、今回は、青を5倍するだけなので、楽ができそうです。

Lukia

内分比を統一したことで、点$\mathrm{P}$の比も$13$とわかりました。

$$\begin{align}点\mathrm{P}は線分&\mathrm{AD}を \ 10:3 \ に内分するから,\\ \mathrm{AP:PD}=&\frac{10}{13}:\frac{3}{13}\\ \\ゆえに\quad s=&\frac{10}{13}\end{align}$$
$$\begin{align}点\mathrm{P}は線分&\mathrm{BC}を \ 8:5 \ に内分するから,\\ \mathrm{BP:PC}=&\frac{8}{13}:\frac{5}{13}\\ \\ゆえに\quad t=&\frac{8}{13}\end{align}$$

$$s=\frac{10}{13} \ , \ t=\frac{8}{13}$$

(2) を解く。

Lukia

問題の指示通りに、線分$\mathrm{OQ}$を示します。
これによって、点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OQ}$を$8:5$に内分することがわかりました。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=&\frac{8}{13}\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \ より, \\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=&\frac{13}{8}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\left( 1\right)\quad& s=\frac{10}{13} \ , \ t=\frac{8}{13} \\ \\\left( 2\right) \quad& \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{13}{8}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\end{align}$$