高校数学の「平面ベクトルとその内分比」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 平面ベクトル , 内分比 , 数学検定2級

問題

problem

 

三角形\(\mathrm{OAB}\)において、辺\(\mathrm{OA}\)を\(3:5\)に内分する点を\(\mathrm{C}\)、辺\(\mathrm{OB}\)を\(1:1\)に内分する点を\(\mathrm{D}\)とし、線分\(\mathrm{AD}\)と\(\mathrm{BC}\)との交点を\(\mathrm{P}\)とする。
(1) \(\mathrm{AP:PD}=s:\left( 1-s\right)\) 、 \(\mathrm{BP:PC}=t:\left( 1-t\right)\)とするとき、\(s \ , \ t\)の値を求めよ。
(2) また、\(\mathrm{OP}\)の延長と辺\(\mathrm{AB}\)との交点を\(\mathrm{Q}\)とするとき、\(\mathrm{OQ}\)は\(\mathrm{OP}\)の何倍であるか。

(1) 図を描いて、内分比を「統一」する。

Lukia_74

Lukia

まずは、図を描いて、わかっている情報を書き込みます。
すると、赤で示した内分比と、青で示した内分比は統一できそうですね。
しかも、今回は、青を5倍するだけなので、楽ができそうです。

Lukia_74

Lukia

内分比を統一したことで、点\(\mathrm{P}\)の比も\(13\)とわかりました。


$$\begin{align}点\mathrm{P}は線分&\mathrm{AD}を \ 10:3 \ に内分するから,\\ \mathrm{AP:PD}=&\frac{10}{13}:\frac{3}{13}\\ \\ゆえに\quad s=&\frac{10}{13}\end{align}$$
$$\begin{align}点\mathrm{P}は線分&\mathrm{BC}を \ 8:5 \ に内分するから,\\ \mathrm{BP:PC}=&\frac{8}{13}:\frac{5}{13}\\ \\ゆえに\quad t=&\frac{8}{13}\end{align}$$

$$s=\frac{10}{13} \ , \ t=\frac{8}{13}$$

(2) を解く。

Lukia_74

Lukia

問題の指示通りに、線分\(\mathrm{OQ}\)を示します。
これによって、点\(\mathrm{P}\)が線分\(\mathrm{OQ}\)を\(8:5\)に内分することがわかりました。


$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=&\frac{8}{13}\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \ より, \\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=&\frac{13}{8}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\left( 1\right)\quad& s=\frac{10}{13} \ , \ t=\frac{8}{13} \\ \\\left( 2\right) \quad& \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{13}{8}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\end{align}$$

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