高校数学の「平面ベクトルの内分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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問題

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\(\triangle \mathrm{ABC}\)において、辺\(\mathrm{AB}\)を\(3:1\)に内分する点を
\(\mathrm{D}\)、辺\(\mathrm{AC}\)を\(3:2\)に内分する点を\(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{BE}\)と\(\mathrm{CD}\)の交点を\(\mathrm{P}\)とする。
このときの\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)を\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)、\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)で表せ。

内分の比を「統一」する。

Lukia_74

Lukia

適当な三角形を描いて、内分比を書き込んでいきます。
辺\(\mathrm{AB}\)を\(3:1\)に内分するに点\(\mathrm{D}\)を打ち、たすき掛けするように、反対側の頂点に内分比を書き込みます。
私は、比と辺の長さが区別しやすいよう、比の数値を〇や□で囲みます。
辺\(\mathrm{AC}\)についても同様に内分比を書き込みます。

Lukia_74

Lukia

ここで、赤の内分比を2倍すれば、青の内分比に統一できそうなので、
赤の内分比を書き換えます。

Lukia_74

Lukia

辺\(\mathrm{BE}\)と辺\(\mathrm{CD}\)を結び、交点\(\mathrm{P}\)を定めます。
交点\(\mathrm{P}\)は、辺\(\mathrm{BE}\)と辺\(\mathrm{CD}\)それぞれの内分点であるとわかりますね。
内分点自体の比は、両端の比の和で求められますから、\(11\)です。

Lukia_74

Lukia

\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)
\(\left( ただし, \ s \ , \ t \ は任意の実数\right)\)で表せ。とありましたから、
点\(\mathrm{A}\)以外の点に書いてある比をまずは、ベクトルの前に書いてやりましょう。

$$\begin{align}11\overrightarrow{\mathrm{AP}}=&6\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{AC}} \\ \\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=&\frac{3}{11}\left( 2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right) \end{align}$$

こたえ

$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{3}{11}\left( 2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$$

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