高校数学の「3つの集合とその要素」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2020年6月7日集合と論理Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数学検定準2級

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KEYWORDS

高校数学 , 3つの集合とその要素 , 集合と論理 , ベン図 , sets , elements , subsets , intersections , unions , Venn diagrams , 数学検定準2級

問題

\( \ 150\ \)人の生徒が、A、B、Cのクラブの1つまたは2つに必ず入っている。
また、3つのクラブに入っている生徒はいない。
A、B、Cのクラブ員の数は、それぞれ\( \ 84\ \)人、\( \ 66\ \)人、\( \ 60\ \)人で、A、Bの2つに入っている人は\( \ 30\ \)人、A、Cの2つに入っている人は\( \ 20\ \)人であるとき、B、Cの両方に入っている人は何人か。
また、1つのクラブだけに入っている人は何人か。

解法

Lukia_74
Lukia
3つの集合があるなんて、なかなか大変そうな問題ですね。
ベン図を描いて、集合と人数を丁寧に読み解いていきましょう。

以下のようなベン図を描き、集合のそれぞれをa , b , c , d , e , fとする。
また、各集合の要素の数も同様にa , b , c , d , e , fで表す。
(a , b , c , d , e , fはいずれも自然数である)
ベン図

BクラブとCクラブの両方に入っている人が含まれるのは、集合 e である。
以下、集合 e の要素の数を求める。

問題文より①から⑧までの式が表せる。

\( \ \begin{align}a+b+c+d+e+f+g=&150\quad \cdots\quad ①\\\\ g=&0\quad \cdots\quad②\\\\ a+d+f=&84\quad \cdots\quad③\\\\ b+d+e=&66\quad \cdots\quad④\\\\ c+e+f=&60\quad \cdots\quad⑤\\\\ d=&30\quad \cdots\quad⑥\\\\ f=&20\quad \cdots\quad⑦\\\\ e=&x\quad \cdots\quad⑧   \end{align} \ \)

③と⑥、⑦より
\( \ \begin{align}a+30+20=&84 \\\\ a=&34\quad \cdots\quad③’ \end{align} \ \)

①に②、③’、⑥、⑦を代入して
\( \ \begin{align}34+b+c+30+e+20=&150 \\\\ b+c+e=&66\quad \cdots\quad ①’  \end{align} \ \)

④\( \ +\ \)⑤をする
\( \ \begin{align}b+c+d+2e+f=&126 \\\\ b+c+30+2e+20=&126 \\\\ b+c+2e=&76 \quad \cdots\quad ⑨\end{align} \ \)

⑨\( \ -\ \)①’をする
\( \ \begin{align}b+c+2e-\left( b+c+e\right)=&76-66 \\\\ e=&10 \end{align}\ \)

BクラブとCクラブの両方に入っているのは\( \ 10\ \)人である。
レモンのライン

入っているクラブが1つの人は、集合 a 、集合 b 、集合 c の要素である。

ゆえに求める人数は
③’+①’-eにより求められる.

\( \ \begin{align}a+b+c+e-e=&34+66-10 \\\\ a+b+c=&90\end{align} \ \)

求める人数は、\( \ 90\ \)人である.

こたえ

BクラブとCクラブの両方に入っている人数 : 10人
1つのクラブに入っている人 : 90人

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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