高校数学の「加法定理の習得と三角形の概形」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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解法

三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)において,角\( \ \mathrm{A} \ \)の大きさを\( \ \alpha \ \) , 角\( \ \mathrm{B} \ \)の大きさを\( \ \beta \ \) , 角\( \ \mathrm{C} \ \)の大きさを\( \ \theta \ \)とする.

三角形の性質より,
\( \ \alpha+\beta+\theta=\pi \ \)
\( \ \theta=\pi-\left( \alpha+\beta\right) \ \)

\( \ \begin{align}\cos \theta=&\cos \lbrace \pi-\left( \alpha+\beta\right)\rbrace \\\\ =&-\cos \left( \alpha+\beta\right) \\\\ =&-\left( \cos \alpha\cos \beta-\sin \alpha\sin \beta\right)\end{align} \ \)

ここで,
\( \ \sin \alpha=\frac{2\sqrt{6}}{5}  \ , \ \sin \beta=\frac{2\sqrt{6}}{7}\ \) であるから,
加法定理より

\( \ \begin{align}\cos \theta=&-\cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha\sin \beta \\\\ =&-\frac{1}{7}+\frac{24}{35} \\\\ =&\frac{19}{35} \end{align} \ \)

こたえ

$$\frac{19}{35}$$

追加問題(Lukia作成)

以下の①~⑥の文において、正しいものを1つ選べ。

① 三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)は、角\( \ \mathrm{A} \ \)を最大角とする鋭角三角形である。

② 三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)は、角\( \ \mathrm{B} \ \)を最大角とする鋭角三角形である。

③ 三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)は、角\( \ \mathrm{C} \ \)を最大角とする鋭角三角形である。

④ 三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)は、角\( \ \mathrm{A} \ \)を最大角とする鈍角三角形である。

⑤ 三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)は、角\( \ \mathrm{B} \ \)を最大角とする鈍角三角形である。

⑥ 三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)は、角\( \ \mathrm{C} \ \)を最大角とする鈍角三角形である。

\( \ \cos \mathrm{A}=\frac{1}{5}=\frac{7}{35} \ \)
\( \ \cos \mathrm{B}=\frac{5}{7}=\frac{25}{35}\ \)
\( \ \cos \mathrm{C}=\frac{19}{35}\ \)
であるから、最大角は角\( \ \mathrm{A}\ \)である。

また、\( \ 0 \lt \cos \mathrm{A} \lt 1 \ \)より
\( \ 0 \lt \mathrm{A} \lt \frac{ \pi }{ 2 }\ \)であるから、
三角形\( \ \mathrm{ABC}\ \)は鋭角三角形である。

ゆえに、正しいのは①

プロフィール

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Author Profile
Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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