高校数学の「外分比が含まれる平面ベクトル」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 外分比が含まれる平面ベクトル , 数学検定2級

問題

problem

 

\( \ k \ , \ s \ , \ t \ \)は実数で\( \ k \gt 0 \ \)とする。\( \ \triangle \mathrm{OAB} \ \)において、辺\( \ \mathrm{AB} \ \)を\( \ 8:3 \ \)に外分する点を\( \ \mathrm{C} \ \),
辺\( \ \mathrm{OB} \ \)を\( \ k:1 \ \)に内分する点を\( \ \mathrm{D} \ \),線分\( \ \mathrm{AD} \ \)の延長が線分\( \ \mathrm{OC} \ \)と交わる点を\( \ \mathrm{E} \ \)とする。\( \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b} \ \)とするとき、次の問いに答えよ。
⑴\( \ \overrightarrow{\mathrm{OC}} \ \)を\( \ \vec{a} \ \)と\( \ \vec{b} \ \)を用いて表せ。
⑵\( \ \overrightarrow{\mathrm{AE}}=s\overrightarrow{\mathrm{AD}} \ , \ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=t\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ \)とするとき\( \ s \ , \ t \ \)を\( \ k \ \)を用いて表せ。
⑶辺\( \ \mathrm{OA} \ \)と線分\( \ \mathrm{BE} \ \)が平行である時\( \ k \ \)の値を求めよ
Lukia_74

Lukia

ベクトルにおいて、「外分」の考え方は少し難しい気がしてしまいますね。
(私もいまだに苦手です)
しかし、比の書き方をくふうすれば、内分と同じように扱うことができます。
単なる計算のためだけなら、今からご紹介する図の描き方でも十分対応します。

準備編

外分比も内分比と同様に扱う

Lukia_74

Lukia

「辺\( \ \mathrm{AB} \ \)を\( \ 8:3 \ \)に外分する」ということは、
「辺\( \ \mathrm{AB} \ \)を\( \ 8:-3 \ \)に内分する」ともいえます。
頂点と比をたすきがけ?するように、互い違いに書き込みます。
Lukia_74

Lukia

ゆえに、頂点\( \ \mathrm{A} \ \)に\( \ −3 \ \),
頂点\( \ \mathrm{B} \ \)に\( \ 8 \ \)を書きます。
そして、\( \ \mathrm{A} \ \)と\( \ \mathrm{B} \ \)に書かれた比の和を内分点である\( \ \mathrm{C} \ \)に書きます。
今回は、\( \ -3+8=5 \ \)より\( \ 5 \ \)となりますね。
Lukia_74

Lukia

辺\( \ \mathrm{OB} \ \)に関する内分もこれと同様におこないます。図では青い文字がそれにあたります。
(やり方は省略させてもらいますね)
Lukia_74

Lukia

ここで、問題となってくるのが、頂点\( \ \mathrm{B} \ \)に\( \ \color{red}{8} \ \)と\( \ \color{#0004fc}{k} \ \)が書かれていることです。
色を分けて書いているとおり、三角形\( \ \mathrm{OAB} \ \)としては内分比が統一されていません。
よって、赤い比のほうは\( \ \color{#0004fc}{k} \ \)倍し、
青い比のほうは\( \ \color{red}{8} \ \)倍して、内分比を統一します。

2つの内分比を統一する

Lukia_74

Lukia

ついでといってはなんですが、直線\( \ \mathrm{BE} \ \)と辺\( \ \mathrm{OA} \ \)の交点を\( \ \mathrm{F} \ \)とし、両端の比の和を書いておきます。
Lukia_74

Lukia

点の上にすべて比をおくことができました。
準備は万端、早速問題を解いていきましょう。

(1)ベクトルOCを表す

Lukia_74

Lukia

図に統一された比を書き込んでいるので、あとはそれを素直に書き出すだけです。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=&\frac{-3k\vec{a}+8k\vec{b}}{5k} \\ =&-\frac{3}{5}\vec{a}+\frac{8}{5}\vec{b}\end{align}$$

(2)t,sをkで表す

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=&\frac{5k}{5k+8}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \\ t=&\frac{5k}{5k+8} \end{align}$$

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AE}}=&\frac{8k+8}{5k+8}\overrightarrow{\mathrm{AD}} \\ s=&\frac{8k+8}{5k+8} \end{align}$$

(3)とある条件を満たすときの定数kの値

Lukia_74

Lukia

外分比を内分比に変換していますので、
この図では、\( \ \overrightarrow{\mathrm{BE}} \ \)が\( \ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ \)と平行になるイメージはどうやっても浮かびません。
しかし、単に計算して、定数\( \ k \ \)の値を求めるだけですから、図が正確である必要もないんですよね。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{BE}}=&m\overrightarrow{\mathrm{OA}}\quad \left( mは実数\right) \quad とする.\\ \overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=&m\overrightarrow{\mathrm{OA}} \\ \frac{1}{5k+8}\left( -3k\vec{a}+8k\vec{b}\right)-\vec{b}=&m\vec{a} \end{align}$$
以上より
$$\begin{align}\frac{8k-5k-8}{5k+8}=&0 \\ 3k=&8 \\ k=&\frac{8}{3} \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

右辺には\( \ \vec{a} \ \)しかないのに、
左辺には\( \ \vec{a} \ \)だけでなく、\( \ \vec{b} \ \)も存在していますね。
右辺に\( \ \vec{b} \ \)がないことから、「以上より」以下の計算式が展開されます。

柿と葉っぱのライン

正しい位置に外分点を置いた図でも解いてみる。

Lukia_74

Lukia

では、外分比を忠実に書き込む図のほうでも解いてみたいと思います。

外分比と内分比を書き込む

Lukia_74

Lukia

「辺\( \ \mathrm{AB} \ \)を\( \ 8:3 \ \)に外分する」ということは、「点\( \ \mathrm{A} \ \)から点\( \ \mathrm{B} \ \)の方向へ\( \ 8 \ \)進んで\( \ 3 \ \)戻ること」を意味しています。
よって、点\( \ \mathrm{C} \ \)は、点\( \ \mathrm{A} \ \)から\( \ 8 \ \)離れた位置、さらに点\( \ \mathrm{B} \ \)とは\( \ 3 \ \)離れた位置に置かれることになります。
Lukia_74

Lukia

しつこいようですが、
点\( \ \mathrm{C} \ \)は、線分\( \ \mathrm{AB} \ \)の内部ではなく、外部にありますね。
これが「外分点」といわれる所以です。
Lukia_74

Lukia

注意してほしいのは、外分比の置き方ですね。
内分比と同様、比と点が互い違いになるように図に書き込むのですが、\( \ \mathrm{A}:\mathrm{B}=8:-3 \ \)と考えると、
点\( \ \mathrm{B} \ \)に書かれる比は、\( \ 8 \ \)ですからね。
点\( \ \mathrm{C} \ \)には\( \ 8+\left( -3\right)=5 \ \)として\( \ 5 \ \)を書き込みます。
ややこしいのは外分比の置き方だけなので、あとは、すでに示した図と同じく、比を統一していきます。(以下略とします)

比を統一した図
(1)
$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=&\frac{-3k\vec{a}+8k\vec{b}}{5k} \\ =&-\frac{3}{5}\vec{a}+\frac{8}{5}\vec{b} \end{align}$$

(2)
$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=&t\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{5k}{5k+8}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \\ t=&\frac{5k}{5k+8} \end{align}$$
また、
$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=&\frac{5k+8}{8\left( k+1\right)}\overrightarrow{\mathrm{}}\overrightarrow{\mathrm{AE}}\quad より \\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}=&\frac{8k+8}{5k+8}\overrightarrow{\mathrm{AD}} \\ s=&\frac{8k+8}{5k+8} \end{align}$$

(3)

Lukia_74

Lukia

外分点を正しい位置に置いた図だと、\( \ AO//BE \ \)というのもイメージしやすいですね。
比を統一した図

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{BE}}=&m\overrightarrow{\mathrm{OA}}\quad \left( mは実数\right)\quad とおく. \\ \overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=&t\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\vec{b} \\ =&-\frac{3}{5}t\vec{a}+\frac{8}{5}t\vec{b}-\vec{b}\\ =&-\frac{3}{5}t\vec{a}\vec{a}+\left( \frac{8}{5}t-1\right)\vec{b}=m\vec{a} \end{align}$$
$$\begin{align}ここで& \ \frac{8}{5}t-1=0\quad より \\ \frac{8}{5}t=&1 \\ t=&\frac{5}{8} \end{align}$$

$$\begin{align}t=&\frac{5k}{5k+8}=\frac{5}{8} \\ 8k=&5k+8 \\ 3k=&8\\ k=&\frac{8}{3}\end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\left( 1\right)&\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{-3\vec{a}+8\vec{b}}{5} \\ \left( 2\right)&\quad \quad s=\frac{8k+8}{5k+8}\quad ,\quad t=\frac{5k}{5k+8} \\ \left( 3\right)&\quad k=\frac{8}{3} \end{align}$$

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