高校数学の「外分比がらみの平面ベクトル」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年2月11日2023年1月14日ベクトル実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級,数検準1級

Lukia

今回の問題には、「外分」が含まれていますね。
「イメージしにくくて苦手・・・」と思う方もいらっしゃると思います。（私もそうです。）
でも、そんなときは無理しない。
図を描け。と言われているわけではないので、内分と同じように扱えばいいんです。

外分比も内分比と同じように扱える。（ただしコツあり）

Lukia

\( \ \triangle \mathrm{OAB} \ \)を描き、
辺\( \ \mathrm{AB} \ \)を\( \ \color{#0004fc}{3:-1} \ \)に内分するように、「内分比」を互い違いにおいてやります。

Lukia

点\( \ \mathrm{P} \ \)は線分\( \ \mathrm{AB} \ \)の「内分点」ですから、両端の「内分比」の和、すなわち②となりますね。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=&\frac{1}{2}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right) \end{align}$$

内積を求めよう。

$$\begin{align}\mathrm{OP}\perp\mathrm{AB}&\quad より \\\\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=&0 \\\\ \frac{1}{2}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)\left( \overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)=&0\\\\ 3\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}-6-20+\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&0 \\\\ 4\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&32\\\\ \\\\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&8 \end{align}$$

ベクトルの内積計算は、とにかく無理しない。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=&k\overrightarrow{\mathrm{OB}}\quad \left( k \ は実数\right)\quad とする.\\\\ \\\\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=&\left( k\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right)\left( k\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right) \\\\ =&\left( k\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)\left( k\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right) \end{align}$$

Lukia

ここで、\( \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ \)に関して、一部まとめたくなるでしょうが、考えるだけ手間なので、無理しません。
下のような表を描いて、まずはかけ算し、最終的にたし算していけば、内積が求められます。

$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=&20k^2-10k-2 \\\\ k=&\frac{1}{4}\quad のとき \\\\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}& \ は最小値 \ -\frac{13}{4}\quad をとる. \end{align}$$
また,
$$\begin{align}\frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OB}}=\frac{\vert k\overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert}{\vert \overrightarrow{\mathrm{OB}}-k\overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert}=&\frac{k}{1-k}\vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert \\\\ =&\frac{-\frac{13}{4}}{1+\frac{13}{4}}\cdot 2\sqrt{5} \\\\ =&\frac{26}{17}\sqrt{5} \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}(1)&\quad \quad \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}\left( 3\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)\\\\(2)&\quad \quad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=8\\\\
(3)&\quad \quad 内積の最小値：-\frac{13}{4}\\\\ &\quad \quad \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OB}}=\frac{26}{17}\sqrt{5}
\end{align}$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。