高校数学の「平面ベクトルの内分比からcosθの大きさを求める」問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「平面ベクトルの内分比からcosθの大きさを求める」問題を解いてみました。

問題

三角形\( \ \mathrm{OAB} \ \)があり辺\( \ \mathrm{OA} \ \)を\( \ 2:1 \ \)に内分

する点を\( \ \mathrm{C} \ \), 辺\( \ \mathrm{OB} \ \)を\( \ 1:2 \ \)に内分する点

を\( \ \mathrm{D} \ \), 直線\( \ \mathrm{AD} \ \),\( \ \mathrm{BC} \ \)の交点を\( \ \mathrm{P} \ \)とする。
このとき、 \( \ \vert \mathrm{OA} \vert=2 \ \) , \( \ \vert \mathrm{OB} \vert=3 \cos \angle \mathrm{AOB}=\displaystyle\frac{1}{6} \ \) , \( \ \vert \mathrm{OP} \vert=\displaystyle\frac{9}{7} \ \)である。 \( \ \cos \angle \mathrm{AOP} \ \)の値を求めよ。

解法

直線\( \ \mathrm{OP} \ \)と辺\( \ \mathrm{AB} \ \)の交点を\( \ \mathrm{E} \ \)とする。
三角形\( \ \mathrm{OAB} \ \)とその内分線の関係は以下の図の通り。

内分比は以下の図の青い数字のとおりとなる。


\( \ \cos \angle \mathrm{AOP}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{OC}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{OP}} \vert} \ \)

\( \ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}} \ , \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OC}} \vert=\displaystyle\frac{4}{3} \\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\displaystyle\frac{1}{7}\left( 4\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right) \ , \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OP}} \vert=\displaystyle\frac{9}{7} \end{array} \right. \end{eqnarray} \ \) $$\begin{align}\cos \angle \mathrm{AOP}=&\frac{\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\times \displaystyle\frac{1}{7}\left( 4\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)}{\displaystyle\frac{4}{3}\times \displaystyle\frac{9}{7}} \\\\ =&\frac{1}{18}\left( 4\vert \overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert^2+\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\right) \\\\ \rm{ここで}&\\\\ \cos \angle \mathrm{AOB}=&\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert}=\frac{1}{6}\\\\ &\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2\times 3}=\frac{1}{6}\\\\ &\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1 \ \rm{より}\\\\ \cos \angle \mathrm{AOP}=&\frac{1}{18}\left( 4\cdot 2^2+1\right)\\\\ =&\frac{17}{18} \end{align}$$

こたえ

\( \ \cos \angle \mathrm{AOP}=\displaystyle\frac{17}{18} \ \)

プロフィール

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Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74