ドライブ中に頭の体操をしてみる。

場合の数と確率, 整数の性質, 日々雑感そうだったのか!, 数学, 数学検定, 数検準2級

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気が付けば長いゴールデンウイークも折り返し地点。
あんなにいろいろと目標を立て、長々と記事を書いたのに、連日遊び歩いて下方修正の兆し。
これではいかん!と思って、ちょっと気軽な記事を書いてみようかと思います。

助手席で頭の体操をしています。

今年のゴールデンウイークは、なんだかんだと遠出しているのですが、私はもっぱら助手席を温める係です。(笑)

Lukia_74

Lukia

でもね、ナビを入力したり、飲み物を差し出したり、助手席なりに仕事はあるんですよ?

とはいえ、やっぱり「助手」席は気が緩みます。
車の振動が気持ちいいですしね。
しばし船を漕ぎ、ふっと目覚めてからは、車のナンバーを使って、頭の体操を始めます。

ナンバーは3の倍数かどうか。

いつのころからか、車のナンバーが3の倍数かどうか。を計算するようになりました。
何桁の整数であろうと、各位の和が1桁になるまで足し合わせ、3の倍数になれば、その整数は3の倍数であるとわかるのです。

日本の車のナンバーは最大で4桁なので、4つの数の和でことたりますね。
実際にちょっと例を挙げてみましょう。

$$\begin{align}ナンバーが\quad 12-34&\quad の場合 \\ &1+2+3+4=10 \end{align}$$
10は3で割り切れないので、3の倍数ではありません。

$$\begin{align}ナンバーが\quad 26-94&\quad の場合 \\ &2+6+9+4=21 \end{align}$$
21は3で割り切れるので、3の倍数であるといえます。

全部足し合わせるのがめんどくさい!

そのうち、いちいち足し合わせるのがめんどくさくなってきました。
暇つぶしにやりはじめたのに、たし算をめんどくさがるとは。
我ながらあきれますが、めんどくさくなった以上、別のことを考えなくてはなりません。

そもそも、なぜめんどくさいと感じるようになったのか。
各位は、0から9までの10個の数字が入ることになりますが、(左から3桁までは、0の場合表示されませんが)
そのうち、明らかに3の倍数である3、6、9までも足し合わせてきたからです。

ということは、ナンバーに含まれている、3、6、9、(0)は加えるのに除外し、
残ったものだけを加えればいいなと思いました。

ですから、
$$\begin{align}ナンバーが\quad 12-34&\quad の場合 \\ &1+2+4=7 \end{align}$$
と計算し、

$$\begin{align}ナンバーが\quad 26-94&\quad の場合 \\ &2+4=6 \end{align}$$
と計算すればよいことになります。

3、6、9、と0はそもそもたし算しない。というルールを決めたら、当然ですが、格段にたし算が楽になりました。

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Lukia

おお!見ればいい数字が10個から6個に減った!
チョ~楽ぢゃん!

この楽さ具合がおもしろくて、ひたすら計算していました。

合同式を用いて、残りの数字をパターン分けしてみる。

6個の数字の組み合わせでたし算していけばいいことにしばらくは満足していたのですが、
脳に別の負荷をかけてみよう。と思いました。

そこで、合同式を用いて、余りによってグループ分けしてみることにしました。
$$\begin{align}{1} \equiv {1} &\pmod {3} \\ {2} \equiv {2} &\pmod {3} \\{4} \equiv {1} &\pmod {3} \\
{5} \equiv {2} &\pmod {3} \\ {7} \equiv {1} &\pmod {3} \\{8} \equiv {2} &\pmod {3} \end{align}$$

$$\begin{align}余りが1 \ となる&グループ \\ &1 \ , \ 4 \ , \ 7 \end{align}$$
$$\begin{align}余りが2 \ となる&グループ \\ &2 \ , \ 5 \ , \ 8 \end{align}$$

まずは、それぞれのグループの数字を覚える(瞬間的に脳内変換できる)必要があります。

上のようにグループ分けされた状態のメモがあれば、計算も楽なのでしょうが、ドライブ中は何も見ずにグループ分けを意識することになるので、これはこれで脳にまぁまぁの負荷がかけられると思います。

でも、まだまだ楽ができないか。計算のパターンがあるのではないか。と考えるようになりました。

PexelsによるPixabayからの画像

合同式によってどれだけ楽になったの?

4桁の各位の和を求めていたときは、各位に0から9までの10個の数が入る可能性があるので、
$$10^4=10000$$
1万通りの計算があるはずでした。

それを、合同式によって、余りが0, 1, 2 の3つのグループに分けたので、計算のパターンは格段に減ります。
各位には、0, 1, 2 のいずれかが入る可能性があるので、
$$3^4=81$$
81通りにまで減ります。

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Lukia

1万通りから81通りとは、激減具合がハンパない!

さらに81通りの組み合わせをもう少し細かく考えてみることにしました。

81通りのうちわけ。

以下は、合同式によって導き出された余りのことを「0のグループ」、「1のグループ」、「2のグループ」とします。

各位に同じグループの数が入る。

各位の和
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2

$${}_4 \mathrm{C}_4\times 3=3\quad \left( 通り\right)$$

0が3つと1か2が1つ。

この場合、0が4つの位の3つに入ってしまえば、1または2は一か所しか入れません。
(逆に、0が入らない位置を決めるともいえる)
0が3つと1が1つの組み合わせか、0が3つで2が1つの組み合わせが存在するので、式は、
$${}_4 \mathrm{C}_3\times 2={}_4 \mathrm{C}_1\times 2=8\quad \left( 通り\right)$$

この場合、各位の和が1になる場合が4通り、
各位の和が2になる場合が4通りあると考えられます。

0が2つと1または2が2つ。

$${}_4 \mathrm{C}_2\times 2=12\quad \left( 通り\right)$$
この場合、各位の和が1になる場合が6通り、
各位の和が2になる場合が6通りあると考えられます。

0が2つと1と2が1つずつ。

0が入る位を2ヵ所決めてしまい、残った2つの位のどちらかに1を入れれば、2の入る位置は自動的に決定されてしまいます。
$${}_4 \mathrm{C}_2\times {}_2 \mathrm{C}_1=12\quad \left( 通り\right)$$

この場合、余りの1と2を足し合わせることになるので、
余りは0となり、3の倍数であることがわかります。
$${1+2} \equiv {0} \pmod {3}$$

0が1つと1または2が3つ。

$${}_4 \mathrm{C}_1\times 2=8\quad \left( 通り\right)$$
この場合は、余りが0となるので、3の倍数となります。

0が1つと1が2つ、2が1つ。

$${}_4 \mathrm{C}_1\times {}_3 \mathrm{C}_2=12\quad \left( 通り\right)$$

$${1\times 2+2} \equiv {1} \pmod {3}$$
余りは1となります。

0が1つと1が1つ、2が2つ。

$${}_4 \mathrm{C}_1\times {}_3 \mathrm{C}_1=12\quad \left( 通り\right)$$

$${1+2\times 2} \equiv {2} \pmod {3}$$
余りは2となります。

1が3つと2が1つ。

$${}_4 \mathrm{C}_3=4\quad \left( 通り\right)$$
余りは2となります。

1が2つと2が2つ。

$${}_4 \mathrm{C}_2=6\quad \left( 通り\right)$$
余りは0となります。

1が1つと2が3つ。

$${}_4 \mathrm{C}_1=4\quad \left( 通り\right)$$
余りは1となります。

3の倍数である確率は?

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Lukia

軽い気持ちで81通りのうちわけを考えだしたのに、えらいことになってしまいました。(汗)
どこへ脱線していくかわからないので、予定通りにブログが書けないんですよね。(汗)

3つの余りのグループの組み合わせによって、81通りができるわけですが、
結局、3の倍数になるのは、どのぐらいの確率なのでしょうか。

上記の計算によって求められた場合の数を、大真面目に足し合わせてみました。
すると、4桁の和を3で割った余りが0,1,2となるのは、すべて等しく27通りあることがわかりました。
ということは、ドライブ毎にばらつきはあるでしょうが、これからも計算し続けて、人生の終わりごろにデータを集計すれば、ほぼ3分の1の確率で3の倍数となるナンバーに出会えることになります。

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Lukia

また今、気がついたのですが、
自然数や整数は、3の倍数となる数の両端に余りが1となる場合と、余りが2となる場合の数が隣り合っているわけですから、それを考えても3の倍数である確率は
\( \ \frac{1}{3} \ \)であるといえますね。

ボーっとしてられなくなりそう。(汗)

3の倍数である数を省けばいいことに気がついて、たし算自体はずいぶんと楽になったのですが、余りが1となるグループと余りが2となるグループを瞬時に脳内変換できるようになるまでには、もう少し時間がかかりそうです。
さらに、余りのグループの組み合わせによって、81通りあることがわかりましたが、
3の倍数となるのは、大きく5つのパターンに絞られるようですので、ひとまずは、グループ分けの脳内変換スピードを上げることに専念し、次にこの4パターンを覚えて判断していこうと思います。

第1段階 余りが0 0 , 3 , 6 , 9
余りが1 1 , 4 , 7
余りが2 2 , 5 , 8
第2段階 3の倍数となる
パターン
( 0 , 0 , 0 , 0 )
( 0 , 0 , 1 , 2 ) 順不同
( 0 , 1 , 1 , 1 ) 順不同
( 0 , 2 , 2 , 2 ) 順不同
( 1 , 1 , 2 , 2 ) 順不同
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Lukia

しばらくは、ボーっと助手席に座ってられないな。(汗)

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